Алгебра для второго класса

Вот этот пост в Dirty напомнил мне об одной задачке, которая уже затруднила однажды мой мозг, но в тот раз я, похоже, не счел этот вопрос достойным разбирательства. А бессонной ночью, среди чая и шоколада - отчего нет.

Вопрос достаточно тонкий, связанный с методикой обучения математической методологии, типам математического мышления. Фактически, речь идет о интуитивно-эвристическом и алгоритмическом подходе. Я бы также предположил, что это синтетически-образное, целостное мышление с одной стороны, и аналитическое, дискретное мышление с другой. Первый вид мышления, вроде бы, присущ человеку изначально. Второй искусственно развивается в процессе изучения абстрактных математических объектов - алгебраических выражений, уравнений. Глядя на задачу, ребенок видит в ней живые, реалистичные существа и вещи, а взрослый - набор параметров. Привыкнув к формализму и алгебраической абстракции, мы как бы переселяемся в плоскость математических моделей, забывая подчас о том, чему в реальном мире они соответствуют. Возврат к "естественному" пути - это и прокачка гибкости мышления, и возврат к истории математики, и часть довольно методического по духу курса "Элементарная математика".




 Итак, задача по А.П.Чехову ("Репетитор")

 Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. 
 Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, 
      если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.
         
   
Сразу приходит в голову мысль записать вот что:
   
Пусть х - количество аршин черного сукна, а y  - количество аршин синего сукна.
         3x + 5y = 540
         x + y = 138
***
       
НО попробуем обойтись без алгебры:

Черное стоило 3 рубля, а синее - на два рубля дороже.
Купец взял 138 аршин синего и черного сукна.

Если бы взял 138 аршин только синего сукна, сколько бы заплатил?
Очевидно, 138 * 5 = 690 рублей.
Но заплатил он в реальности 540 рубей, потому что часть аршин не синие, а черные.  Он заплатил на 150 рублей меньше, потому что черное сукно стоит на два рубля меньше.

То есть. Если мы возьмем 690  и в этой денежной сумме заменим ЧАСТЬ АРШИН ПО ПЯТЬ на АРШИНЫ ПО ТРИ, то сумма уменьшится на 150 рублей.

Или наоборот: было 138 аршин, часть черных, часть синих, сумма 540 рублей. Если заменить черные на синие, взять все 138 синих, то сумма будет 690 рублей, возрастет на 150. При этом каждый синий будет на 2 рубля дороже каждого черного.

Получается как бы "стоимость замены", апгрейда. Стоимость замены (150) - это произведение цены замены (2) на количество заменяемых объектов.

Остается разделить 150 на 2. Будет 75 и это и есть количество черных аршин.

*****

Это соответствует вот какому методу решения системы: домножению одного из
уравений на число так, чтобы вычесть из одного уравнения другое и добиться появления одного уравнения с одной переменной.

 
    5x + 5y = 690  т.е. фактически 5(x+y) = 690
    3x + 5y = 540 - по условию
 
     
    вычитаем из второго уравнения первое
    2x      = 150
    x       = 75

Запись 5x + 5y  вместо  3x + 5y ровно означает
что те аршины, которые раньше были черные (3х) теперь синие (5х)

может возникнуть вопрос: ведь иксом (х) обозначились именно черные аршины
и выражение 3х выглядит естественно и логично, т.к. 3 - цена черного аршина
но насколько естественно писать 5х
т.е. умножать колчество черных аршин на цену синего?

ответ заключается в том, что x  и y представляют на самом деле "безразмерные" величины, это просто буквы для обозначения двух каких-то количеств, двух неравных чисел. Содержательный смысл имеют только выражения 3x и 5y - соответственно стоимость черного и стоимость синего сукна.
Написать 5x вместо 3x - значит вместо x синих аршин взять x черных аршин!

Поэтому следовало бы писать не
 "пусть х - количество черных аршин,  у - количество синих"
 а
 "обозначим x и у количества аршин, из которых складывается 138 аршин"

P.S.
Возможно, что на эти величины можно еще смотреть как на своего рода векторы. Т.е. 3x + 5y это (3;5) - координаты в базисе. И соответственно (5;5)


В развитие темы:
1. http://arbuz.uz/z_nostalgi.html
2. Элементарная математика Сканави - http://www.alleng.ru/d/math/math04.htm
3. Элементарная математика Выгодский - http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm
4. Задачи по элементарной математике - http://www.math-life.com/jdownloads/view.download/20/213.html
5. Пособие по математике для поступающих в вузе Дорофеев-Потапов-Розов http://www.alleng.ru/d/math/math10.htm